Q: what is complexity?

A: 函数的操作数量与输入数据大小的数学关系。 例如，单循环函数的操作数量和输入操作数成正比，或者说成“线性关系”，单循环函数的复杂度就是 \(O(1)\)。

迭代与递归 代表了两种完全不同的思考和解决问题的范式。

• 迭代：“自下而上”地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。
• 递归：“自上而下”地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。接下来将子问题继续分解为更小的子问题，直到基本情况时停止（基本情况的解是已知的）。

features of recursion

1. invoke stack

递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。这将导致两方面的结果。

• 函数的上下文数据都存储在称为“栈帧空间”的内存区域中，直至函数返回后才会被释放。因此，递归通常比迭代更加耗费内存空间。
• 递归调用函数会产生额外的开销。因此递归通常比循环的时间效率更低。

2. tail recursion

• 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下文。
• 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无需继续执行其他操作，因此系统无需保存上一层函数的上下文。

normal recursion

we put operation in parameter table in tail recursion

/* 尾递归 */
int tailRecur(int n, int res) {
    // 终止条件
    if (n == 0)
        return res;
    // 尾递归调用
	// we put operation in parameter table in tail recursion
    return tailRecur(n - 1, res + n);
}

tail recursion

/* 递归 */
int recur(int n) {
    // 终止条件
    if (n == 1)
        return 1;
    // 递：递归调用
    int res = recur(n - 1);
    // 归：返回结果
    return n + res;
}

Notes: 许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如，Python 默认不支持尾递归优化，因此即使函数是尾递归形式，但仍然可能会遇到栈溢出问题。

	Iteration	Recursion
Implemention	循环结构	函数调用自身
Time efficient	效率通常较高，无函数调用开销	每次函数调用都会产生开销
Memory usage	通常使用固定大小的内存空间	累积函数调用可能使用大量的栈帧空间
Applicable issue	适用于简单循环任务，代码直观、可读性好	适用于子问题分解，如树、图、分治、回溯等，代码结构简洁、清晰