剑指offer 面试题47. 礼物的最大价值（中）

从递归到循环，从回溯到动态规划，有重叠子问题就一定要用动态规划解决问题。

Question

在一个 \(m \times n\) 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1: 

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输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12 解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示： 0 < grid.length <= 200 0 < grid[0].length <= 200

测试用例

功能测试（多行多列的矩阵；一行或者一列的矩阵；只有一个数字的矩阵）。 特殊输入测试（指向矩阵数组的指针为nullptr）。

本题考点

考查应聘者用动态规划分析问题的能力。应聘者能够熟练应用动态规划分析问题是解答这道面试题的前提。 考查应聘者对递归及时间效率的理解。如果只是能够把递归分析转换为递归代码，则应聘者不一定能够通过这道题的面试。面试官期待应聘者能够用基于循环的代码来避免不必要的重复计算。

Intuition

典型的动态规划问题，设函数 \(f(i, j)\) 为到达坐标 \((i, j)\) 能拿到的礼物总和的最大值，由题意可知，通过 \((i,j-1)\) 和 \((i-1, j)\) 都可以达到 \((i, j)\)。则状态转移方程为： \[ f(i, j) = max(f(i, j-1), f(i-1, j)) + gift(i, j) \] 其中，\(gift(i,j)\) 为坐标\((i, j)\)的格子里礼物的价值。

Code

  • 无列和行的初始化过程，在循环过程中初始化第一列和第一行。
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class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if grid == []:  return 0  # 特判空矩阵
        if not isinstance(grid, list) or not isinstance(grid[0], list):  return 0  # 特判输入的不是矩阵，是一个list。
        # 获取矩阵的行号和列号
        rows = len(grid)
        cols = len(grid[0])
        # 初始化dp矩阵
        dp = [[0 for _ in range(cols)] for _ in range(rows)]
        # 开始动态规划
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                if j - 1 >= 0 and i - 1 >= 0:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
                elif j - 1 >= 0:  # j - 1 >= 0 且 i - 1 < 0 第一行元素
                    dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]
                elif i - 1 >= 0:  # i - 1 >= 0 且 j - 1 < 0 第一列元素
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]
                else:  # 第一行第一列元素
                    dp[i][i] = grid[i][j]

        return dp[-1][-1]
  • 有列和行的初始化过程，在循环之前初始化第一列和第一行。
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class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        # 特判
        if grid == []:  return 0  # 特判空矩阵
        if not isinstance(grid, list) or not isinstance(grid[0], list):  return 0  # 特判输入的不是矩阵，是一个list。
       
        # 获取矩阵的行号和列号
        rows = len(grid)
        cols = len(grid[0])
        
        # 初始化dp矩阵
        dp = [[0 for _ in range(cols)] for _ in range(rows)]
        dp[0][0] = grid[0][0]
        # 初始化第一行
        for j in range(1, cols):
            dp[0][j] = grid[0][j] + dp[0][j-1]
        # 初始化第一列
        for i in range(1, rows):
            dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i-1][0]
        
        # 从(1,1)处开始动态规划
        for i in range(1, rows):
            for j in range(1, cols):
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

        return dp[-1][-1]