一些位运算的常识

位运算基本概念

Python的位运算符

a = 010101(21)

b = 100100(36)

• (a & b) 按位与运算符：参与运算的两个值,如果两个相应位都为1,则该位的结果为1,否则为0 输出结果 12 ，二进制解释： a & b = 000100(4)

• (a | b) 按位或运算符：只要对应的二个二进位有一个为1时，结果位就为1。 输出结果 61 ，二进制解释： a | b = 110101(53)

• (a ^ b) 按位异或运算符：当两对应的二进位相异时，结果为1 输出结果 49 ，二进制解释： a ^ b = 110001(49)

• (~a ) 按位取反运算符：对数据的每个二进制位取反,即把1变为0,把0变为1 。~x 类似于 -(x+1) 输出结果 -22 ，二进制解释： ~a = 101010（-22），属于一个有符号二进制数的补码形式。为什么有符号二进制数的补码形式的101010是-22？如何从补码反推源码？进而知道其10进制数的表达方式？首先根据其首位，确定其正负（1为负、0为正），然后先对其取反，然后再加1。则101010的源码是010101+1=010110(22)，由于 101010首位是1，所以这是一个负数，所以有符号二进制数的补码形式的101010表示的十进制数是-22，即~a = -(x+1) = -x - 1

  在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理 [2] 。

• a << 2 左移动运算符：运算数的各二进位全部左移若干位，由 << 右边的数字指定了移动的位数，高位丢弃，低位补0。

  >> a = 15
  >>> b = a << 4
  >>> b
  240

  输出结果 240 ，二进制解释： 1111 (15) 右移四位得到11110000（240）

• a >> 2 右移动运算符：把">>"左边的运算数的各二进位全部右移若干位，>> 右边的数字指定了移动的位数。输出结果 15 ，二进制解释： 0000 1111

机器数、真值、原码、补码、反码

• 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

• 真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

• 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111] => [-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

• 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

• 补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

• 为何要使用原码, 反码和补码?

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

位图运算

使用位图来替代传统的 bool 数组或者哈希表存储元素是否出现。

• 预声明

  _len = 26  # 要保存的数字个数
  bitmask = 0  # 位图

• 判断是否读取过

  if (bitmask >> (_len - index - 1)) & 1 == 0:  # 如果为0则说明之前未曾访问过第index个元素

• 将对应bit上的值从1变成0，或者从0变成1。

  bitmask ^= 1 << (_len - index - 1)

  面试题 01.01. 判定字符是否唯一

# 位掩码方法
class Solution:
    def isUnique(self, astr: str) -> bool:
        _len = 26  # 一共有26个bit保存26个字母的使用情况
        bitmask = 0  # 位掩码
        for _char in astr:
            index = ord(_char) - 97
            if (bitmask >> (_len - index - 1)) & 1 == 0:  # 如果为0则说明之前未曾访问过第index个元素
                bitmask ^= 1 << (_len - index - 1)
            else:
                return False
        return True

# List方法
class Solution:
    def isUnique(self, astr: str) -> bool:
        used = []
        for _char in astr:
            if _char not in used:
                used.append(_char)
            else:
                return False
        return True
 
# hash-map方法
class Solution:
    def isUnique(self, astr: str) -> bool:
        used = {}
        for _char in astr:
            if _char not in used:
                used[_char] = 1
            else:
                return False
        return True

关于位图在数据库上的使用：

https://juejin.im/post/5c4fd2af51882525da267385

关键思想

相关LeetCode题目

LeetCode 52. N皇后 II（难）

直觉

1、利用传统的回溯算法思想，直接在满足终止条件时，执行 count += 1，返回 count 结果就行。

2、利用位运算

1）、找到满足条件的位置

A         = 1000 1001  # 这一行由于列冲突不能放置的位置
B         = 0001 0010  # 这一行由于主对角线冲突不能放置的位置
C         = 0010 0000  # 这一行由于负对角线冲突不能放置的位置
A|B|C     = 1011 1011  # 先做个或操作
~(A|B|C)  = 0100 0100 = D # 然后取反 D中为1的位置就是第四行可以放置皇后的位置
-D        = 1011 1110  # 接着加1 -D是D的所有位置按位取反之后加1
D&-D      = 0000 0100 = bit # 将二者与操作一下 得到的bit就是下一次可以放置皇后的一个位置

2）、

这一题也可以使用位运算（位图）来实现，不过理解较为复杂。 对于列冲突变量A来说，只要使用 A|bit 即可表示下一行列冲突的情况。 对于主对角线冲突变量 B，采用B|(bit>>1) 即可表示下一行中，主对角线冲突的情况。 对于负对角线冲突变量 C，采用C|(bit<<1) 即可表示下一行中，负对角线冲突的情况。

bit       = 0000 0100  # bit是当前选择的情况
A         = 1000 1001
A = A|bit = 1000 1101   # 更新下一行的列冲突位置

bit            = 0000 0100
bit>>1         = 0000 0010
B              = 0001 0010
B = B|(bit>>1) = 0001 0010  # 更新下一行的负对角线冲突位置
    
bit            = 0000 0100
bit<<1         = 0000 1000
C              = 0001 0010
C = C|(bit<<1) = 0001 1010  # 更新下一行的主对角线冲突位置

得到更新之后的 A B C 变量，就可以进行递归了。

关键代码

• 传统代码

def could_place(row, col):
    
def place_queen(row, col)

def remove_queen(row, col)

def backtrack(row = 0, count = 0):  # 默认backtrack从第0行开始
    for col in range(n):  # <选择列表> 逐列添加
        if could_place(row, col):  # 判断当前位置是否可以添加皇后
            place_queen(row, col)  # 执行选择
            if row + 1 == n:  # <结束条件> Our Goal 遍历完所有行
                count += 1  # 发现一个解，count加1
            else:
                count = backtrack(row + 1, count)  # 递归回溯， 列不变
            remove_queen(row, col)  # 撤销选择
    return count

• 位运算代码，明显简洁很多。

class Solution:
    def totalNQueens(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        def backtrack(row = 0, hills = 0, next_row = 0, dales = 0, count = 0):
            """
            :type row: 当前放置皇后的行号
            :type hills: 主对角线占据情况 [1 = 被占据，0 = 未被占据]
            :type next_row: 下一行被占据的情况 [1 = 被占据，0 = 未被占据] 实际上就是记录了还有哪些列可以用
            :type dales: 次对角线占据情况 [1 = 被占据，0 = 未被占据]
            :rtype: 所有可行解的个数
            """
            if row == n:  # 如果已经放置了 n 个皇后
                count += 1  # 累加可行解
            else:
                # 当前行可用的列
                # ! 表示 0 和 1 的含义对于变量 hills, next_row and dales的含义是相反的
                # [1 = 未被占据，0 = 被占据]
                free_columns = columns & ~(hills | next_row | dales)
                # free_columns =  ~(hills | next_row | dales)
                
                # 找到可以放置下一个皇后的列
                while free_columns:
                    # free_columns 的第一个为 '1' 的位在该列我们放置当前皇后
                    curr_column = - free_columns & free_columns
                    # 放置皇后 并且排除对应的列
                    free_columns ^= curr_column
                    count = backtrack(row + 1, 
                                      (hills | curr_column) << 1, 
                                      next_row | curr_column, 
                                      (dales | curr_column) >> 1, 
                                      count)
            return count

        # 棋盘所有的列都可放置，
        # 即，按位表示为 n 个 '1'
        # bin(cols) = 0b1111 (n = 4), bin(cols) = 0b111 (n = 3)
        # [1 = 可放置]
        columns = (1 << n) - 1  # columns中为每一行默认可以放置的位置 全1
        return backtrack()

题解

LeetCode 52. N皇后 II（难）

LeetCode 78. 子集（中）

题目

给定一组不含重复元素、也不一定连续的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。 说明：解集不能包含重复的子集。

直觉

状态分配：把数组中所有的数分配一个状态，true 表示这个数在子集中出现，false 表示在子集中不出现，那么对于一个长度为 n 的数组，每个数字都有出现与不出现两种情况，所以共有 2n 中情况，那么我们把每种情况都转换出来就是子集了，状态存储用位运算来实现。

关键代码

状态分配

class Solution:
    def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        def convertIntToSet(nums, k):
            sub = []
            idx = 0
            i = k
            while i>0:
                if i & 1 == 1:
                    sub.append(nums[idx])
                idx += 1
                i >>= 1
            return sub
        res = []
        nums.sort()
        _max = 1 << len(nums)
        k = 0
        while k < _max:
            out = convertIntToSet(nums, k)
            res.append(out)
            k += 1
        return res

题解

LeetCode 78. 子集（中）

LeetCode 89. 格雷编码（中）

题目

格雷编码是一个二进制数字系统，在该系统中，两个连续的数值仅有一个位数的差异。 给定一个代表编码总位数的非负整数 n，打印其格雷编码序列。格雷编码序列必须以 0 开头。

直觉

由维基百科可知 二进制数字 和 格雷码 之间的转换公式是： \[ gray\_num = binary\_num >> 1\ \wedge\ binary\_num \] 由此可循环 \(2^n\) 个数字，依次处理即可。

关键代码

class Solution:
    def grayCode(self, n: int) -> List[int]:
        res = []
        for i in range(2**n):
            res.append((i >> 1)^i)
        return res

题解

LeetCode 89. 格雷编码（中）