51题的修改

题目

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回 n 皇后不同的解决方案的数量。

示例

输入: 4
输出: 2
解释: 4 皇后问题存在如下两个不同的解法。
[
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

考察知识点

回溯算法、位运算

核心思想

方法一、普通的回溯法

与51题一样，不过返回的不是具体的解答，而是解答的个数。修改部分代码即可，去掉变量 queens 和 out_put 以及函数add_solution，直接返回count结果就行。

方法二、基于bitmap的回溯方法

有着相同的时间复杂度 \(O(N!)\)。但是由于使用了位运算，可以运行得更快。

感谢这个算法的提出者 takaken。

基本思路与传统一样，每一行只能放并且必须放一个皇后。每次放置一个皇后之后，它就会对后面所有行中，可能放置皇后的位置产生影响。如下图所示，我们已经放置了三个皇后Q1，Q2，Q3。 接着在下面一行放置Q4时，用彩色标注出的区域都是不可行的方案，会与已经放置的三个皇后产生冲突。 这个冲突其实有三种不同的情况，我们用三个变量A，B，C分别来表示这三种不同的冲突。这三个变量都是一个八位的二进制数，这八位中，为1的表示有冲突，为0表示没有冲突。

1. 与已放置的皇后处于同一列中； 我们用A表示这种冲突。例如在图中，第四行会有三个位置因为列攻击而不能再放置皇后（图中大红色方块），因此A = 1000 1001。
2. 与已放置的皇后处于同一主对角线/左斜(指向右下方)对角线中； 我们用B表示这种冲突。例如在图中，蓝色方块所表示的位置，分别是由于Q1和Q2的左斜对角线上的攻击而不能够放置新的皇后， 因此B = 0001 0010。
3. 与已放置的皇后处于同一负对角线/右斜(指向右上方)对角线中。 我们用C表示这种冲突。例如图中粉色方块， 是由Q2的右斜对角线的攻击造成的。因此C = 0010 0000。

A         = 1000 1001
B         = 0001 0010
C         = 0010 0000
A|B|C     = 1011 1011
~(A|B|C)  = 0100 0100 = D // D中为1的位置就是第四行可以放置皇后的位置
-D        = 1011 1110  // -D是D的所有位置按位取反之后加1
D&-D      = 0000 0100 = bit // bit就是下一次可以放置皇后的一个位置

得到上述结果，我们就可以往bit这个位置上放置皇后，那后面如何递归呢？

递归中传入的参数（也即A，B，C）该如何设定？其实也很简单，特别是对于列冲突变量A来说，只要使用 A|bit 即可表示下一行列冲突的情况，对于主对角线冲突变量 B，采用B|(bit>>1)，对于负对角线冲突变量 C，采用C|(bit<<1)即可表示下一行中，对角线冲突的情况。

bit       = 0000 0100
A         = 1000 1001
A = A|bit = 1000 1101

bit            = 0000 0100
bit>>1         = 0000 0010
B              = 0001 0010
B = B|(bit>>1) = 0001 0010
    
bit            = 0000 0100
bit<<1         = 0000 1000
C              = 0001 0010
C = C|(bit<<1) = 0001 1010

得到更新之后的 A B C 变量，就可以进行递归了。

LeetCode题解

Python版本

基于回溯方法

class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        def could_place(row, col):
            return not (cols[col] + hill_diagonals[row - col] + dale_diagonals[row + col])  # 判断该位置是否被排除，只有cols[col]、hill_diagonals[row - col]、dale_diagonals[row + col])都处于0（即没有被排除）的情况下才能认为是该位置可用

        def place_queen(row, col):
            cols[col] = 1  # 标记该列无法再添加
            hill_diagonals[row - col] = 1  # 希尔对角线 即 主对角线 行号-列号=常数，通过记录这个常数，之后只要判断行号-列号=该常数的位置，都无法再添加皇后了。
            dale_diagonals[row + col] = 1  # 戴尔对角线 即 次对角线 行号+列号=常数，通过记录这个常数，之后只要判断行号+列号=该常数的位置，都无法再添加皇后了。
        
        def remove_queen(row, col):
            cols[col] = 0  # 同时解除该位置的列占用
            hill_diagonals[row - col] = 0  # 同时解除该位置的主对角线占用
            dale_diagonals[row + col] = 0  # 同时解除该位置的次对角线的占用

        def backtrack(row = 0, count = 0):  # 默认backtrack从第0行开始
            for col in range(n):  # 逐列添加
                if could_place(row, col):  # 判断当前位置是否可以添加皇后
                    place_queen(row, col)
                    if row + 1 == n:  # 结束条件 Our Goal 遍历完所有行
                        count += 1  # 发现一个解，count加1
                    else:
                        count = backtrack(row + 1, count)  # 否则去回溯当前行的下一行 row+1， 列不变
                    remove_queen(row, col)  # 如果发现不行，回就回溯回来，把刚刚放置了皇后的节点给删除了。
            return count
        
        cols = [0] * n
        hill_diagonals = [0] * (2 * n - 1)  # 如果输入棋盘是固定的，那么hill_diagonals和dale_diagonals可能出现的情况个数也是固定的，就是2 * n - 1
        dale_diagonals = [0] * (2 * n - 1)
        return backtrack()

print("leet code accept!!!")
Input = [4]
Input1 = [2]
Answer = [2]

if __name__ == "__main__":
    solution = Solution()
    for i in range(len(Input)):
        print("-"*50)
        result = solution.totalNQueens(Input[i])
        print(result)
        print(Answer[i])
        print(result==Answer[i])

执行用时 :96 ms, 在所有 Python3 提交中击败了28.72%的用户
内存消耗 :13.4 MB, 在所有 Python3 提交中击败了41.21%的用户
时间复杂度：\(O(N!)\)， 放置第 1 个皇后有 N 种可能的方法，放置两个皇后的方法不超过 N (N - 2) ，放置 3 个皇后的方法不超过 N(N - 2)(N - 4) ，以此类推。总体上，时间复杂度为 \(O (N!)\)。
空间复杂度：\(O(N)\). 需要保存对角线和行的信息。

基于bitmap的回溯方法

class Solution:
    def totalNQueens(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        def backtrack(row = 0, hills = 0, next_row = 0, dales = 0, count = 0):
            """
            :type row: 当前放置皇后的行号
            :type hills: 主对角线占据情况 [1 = 被占据，0 = 未被占据]
            :type next_row: 下一行被占据的情况 [1 = 被占据，0 = 未被占据] 实际上就是记录了还有哪些列可以用
            :type dales: 次对角线占据情况 [1 = 被占据，0 = 未被占据]
            :rtype: 所有可行解的个数
            """
            if row == n:  # 如果已经放置了 n 个皇后
                count += 1  # 累加可行解
            else:
                # 当前行可用的列
                # ! 表示 0 和 1 的含义对于变量 hills, next_row and dales的含义是相反的
                # [1 = 未被占据，0 = 被占据]
                free_columns = columns & ~(hills | next_row | dales)
                # free_columns =  ~(hills | next_row | dales)
                
                # 找到可以放置下一个皇后的列
                while free_columns:
                    # free_columns 的第一个为 '1' 的位在该列我们放置当前皇后
                    curr_column = - free_columns & free_columns
                    
                    # 放置皇后
                    # 并且排除对应的列
                    free_columns ^= curr_column
                    
                    count = backtrack(row + 1, 
                                      (hills | curr_column) << 1, 
                                      next_row | curr_column, 
                                      (dales | curr_column) >> 1, 
                                      count)
            return count

        # 棋盘所有的列都可放置，
        # 即，按位表示为 n 个 '1'
        # bin(cols) = 0b1111 (n = 4), bin(cols) = 0b111 (n = 3)
        # [1 = 可放置]
        columns = (1 << n) - 1  # columns中为每一行默认可以放置的位置 全1
        return backtrack()

执行用时 :32 ms, 在所有 Python3 提交中击败了98.81%的用户
内存消耗 :13.3 MB, 在所有 Python3 提交中击败了41.47%的用户
时间复杂度：\(O(N!)\)
空间复杂度：\(O(N)\)

有效语法糖

python的位运算符：

已知 a = 010101(21) b = 100100(36)

• (a & b) 按位与运算符：参与运算的两个值,如果两个相应位都为1,则该位的结果为1,否则为0 输出结果 12 ，二进制解释： a & b = 000100(4)

• (a | b) 按位或运算符：只要对应的二个二进位有一个为1时，结果位就为1。 输出结果 61 ，二进制解释： a | b = 110101(53)

• (a ^ b) 按位异或运算符：当两对应的二进位相异时，结果为1 输出结果 49 ，二进制解释： a ^ b = 110001(49)

• (~a ) 按位取反运算符：对数据的每个二进制位取反,即把1变为0,把0变为1 。~x 类似于 -(x+1) 输出结果 -22 ，二进制解释： ~a = 101010（-22），属于一个有符号二进制数的补码形式。为什么有符号二进制数的补码形式的101010是-22？如何从补码反推源码？进而知道其10进制数的表达方式？首先根据其首位，确定其正负（1为负、0为正），然后先对其取反，然后再加1。则101010的源码是010101+1=010110(22)，由于 101010首位是1，所以这是一个负数，所以有符号二进制数的补码形式的101010表示的十进制数是-22，即~a = -(x+1) = -x - 1

  在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理 [2] 。

• a << 2 左移动运算符：运算数的各二进位全部左移若干位，由 << 右边的数字指定了移动的位数，高位丢弃，低位补0。

  >> a = 15
  >>> b = a << 4
  >>> b
  240

  输出结果 240 ，二进制解释： 1111 (15) 右移四位得到11110000（240）

• a >> 2 右移动运算符：把">>"左边的运算数的各二进位全部右移若干位，>> 右边的数字指定了移动的位数。输出结果 15 ，二进制解释： 0000 1111

机器数、真值、原码、补码、反码

• 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

• 真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

• 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111] => [-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

• 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

• 补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

• 为何要使用原码, 反码和补码?

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。