LeetCode 12. 整数转罗马数字（中）

基于贪心算法解决，十分简洁。

题目

罗马数字包含以下七种字符： I， V， X， L，C，D 和 M。 

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字符          数值
I             1
V             5
X             10
L             50
C             100
D             500
M             1000
例如， 罗马数字 2 写做 II ，即为两个并列的 1。12 写做 XII ，即为 X + II 。 27 写做 XXVII, 即为 XX + V + II 。

通常情况下，罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例，例如 4 不写做 IIII，而是 IV。数字 1 在数字 5 的左边，所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4 。同样地，数字 9 表示为 IX。这个特殊的规则只适用于以下六种情况：

I 可以放在 V (5) 和 X (10) 的左边，来表示 4 和 9。 X 可以放在 L (50) 和 C (100) 的左边，来表示 40 和 90。 C 可以放在 D (500) 和 M (1000) 的左边，来表示 400 和 900。 给定一个整数，将其转为罗马数字。输入确保在 1 到 3999 的范围内。

示例

示例 1:

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输入: 3
输出: "III"

示例 2: 

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输入: 4
输出: "IV"
示例 3: 
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输入: 9
输出: "IX"
示例 4: 
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输入: 58
输出: "LVIII"
解释: L = 50, V = 5, III = 3.

示例 5: 

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输入: 1994
输出: "MCMXCIV"
解释: M = 1000, CM = 900, XC = 90, IV = 4.

示例 6:

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输入: 3999
输出: "MMMCMXCIX"

考察知识点

条件判定、贪心算法

核心思想

限制条件有限

所以设置好判定条件就能实现该算法。

使用贪心算法实现

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对 问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部 最优解。 贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

假设一个问题比较复杂，暂时找不到全局最优解，那么我们可以考虑把原问题拆成几个小问题（分而治之思想），分别求每个小问题的最优解，再把这些“局部最优解”叠起来，就“当作”整个问题的最优解了。

“将整数转换为罗马数字”的过程，就是用上面这张表中右边的数字作为“加法因子”去分解一个整数，目的是“分解的整数个数”尽可能少，因此，对于这道问题，类似于用最少的纸币凑成一个整数，贪心算法的规则如下：

每一步都使用当前较大的罗马数字作为加法因子，最后得到罗马数字表示就是长度最少的。

LeetCode题解

Python版本

自己实现的一个基于条件判定的方法

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class Solution:
    def intToRoman(self, num: int) -> str:
        # 一位数：I II III VI VII VIII
        # 两位数：X XX XXX LX LXX LXXX
        # 三位数：C CC CCC DC DCC DCCC
        # 四位数：M MM MMM
        
        special_pairs = {
            4: "IV",
            9: "IX",
            40: "XL",
            90: "XC",
            400: "CD",
            900: "CM"
        }

        normal_pairs = {
            1: "I",
            5: "V",
            10: "X",
            50: "L",
            100: "C",
            500: "D",
            1000: "M"
        }

        result = []
        # 换个方向
        count = 0
        while num != 0:
            remainder = (num % 10) * (10 ** count)
            count += 1
            num //= 10
            # 进行替换
            if remainder in special_pairs:
                tmp_str = special_pairs[remainder]
                result.append(tmp_str)
            elif remainder in normal_pairs:
                tmp_str = normal_pairs[remainder]
                result.append(tmp_str)
            elif count == 1:  # 一位数
                if remainder <= 3:  # 1 2 3
                    tmp_str = remainder * normal_pairs[1]
                else:  # 6 7 8
                    tmp_str = normal_pairs[5] + (remainder-5) * normal_pairs[1]
                result.append(tmp_str)
            elif count == 2:  # 两位数
                remainder //= 10
                if remainder <= 3:  # 10 20 30
                    tmp_str = remainder * normal_pairs[10]
                else:  # 60 70 80
                    tmp_str = normal_pairs[50] + (remainder-5) * normal_pairs[10]
                result.append(tmp_str)
            elif count == 3:  # 三位数
                remainder //= 100
                if remainder <= 3:  # 100 200 300
                    tmp_str = remainder * normal_pairs[100]
                else:  # 600 700 800
                    tmp_str = normal_pairs[500] + (remainder-5) * normal_pairs[100]
                result.append(tmp_str)
            elif count == 4:  # 四位数
                remainder //= 1000
                tmp_str = remainder * normal_pairs[1000]
                result.append(tmp_str)
            else:
                print("有问题")

        tmp_str = ""
        # 传入是小位数字在前大位数字在后，所以要逆向构造。
        for i in range(len(result)-1, -1, -1):
            tmp_str += result[i]

        return tmp_str

时间复杂度 \(O(n)\) 遍历了一遍输入数字 遍历了一遍转化结果

贪心算法版本

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class Solution(object):
    def intToRoman(self, num: int) -> str:
        # 把阿拉伯数字与罗马数字可能出现的所有情况和对应关系，放在两个数组中
        # 并且按照阿拉伯数字的大小降序排列，这是贪心选择思想
        nums = [1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1]
        romans = ["M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"]

        index = 0
        res = ''

        while index < 13:
            while num >= nums[index]:  # 使用>=是指尽量找靠近这个数字的最大值来表示
                res += romans[index]  # 找到就存起来
                num -= nums[index]  # 之前是//更新，现在改成减去已经表示了的部分（局部最优解），剩下的部分继续处理，在这里就体现了贪心的思想。
            index += 1

        return res
  • 时间复杂度：\(O(1)\)，虽然看起来是两层循环，但是外层循环的次数最多 12，内层循环的此时其实也是有限次的，综合一下，时间复杂度是 \(O(1)\)。
  • 空间复杂度：\(O(1)\)，这里使用了两个辅助数字，空间都为 13，还有常数个变量，故空间复杂度是 \(O(1)\)。

有效语法糖

1、Python中的从后往前输出

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>>> a
[3, 2, 1]
>>> for i in range(len(a)-1, -1, -1):  # 可迭代对象长度减一（range开始处），可迭代对象长度加一
	print(a[i])
	
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